BKLove Blog

미국드라마 중에 하나인 'Numb3rs'를 다시 보다가 재미있는 내용이 보이길래 여러분께 소개합니다. 마음편하게 참여해보세요. (얼핏 보기에는 간단해보이는데, 실제는 그렇지 않으니, 정신을 바짝 차리고 풀어보시는 것도... ^^)

그럼 시작합니다!

여기 카드가 세 장 있습니다. 두장에는 염소의 그림이 그려져 있고, 한장에는 멋진 자동차의 그림이 그려져 있습니다. 당신은 이 카드중에 한가지만 선택할 수 있습니다. 만약 당신이 선택한 카드에 자동차가 나오면, 자동차를 선물로 받을 수 있다고 해보겠습니다. (이야~) 염소가 나오면 "꽝"입니다.


그럼 최선을 다해서 자동차가 그려진 카드를 뽑아야겠죠? 세장의 카드입니다.

 
편의상 당신이 선택한 카드가 가운데 있는 카드라고 생각해보겠습니다. (어느쪽이든 별로 중요하지 않습니다)

 
됐죠? 이때 딜러가 당신에게 염소가 그려진 카드를 한 장 보여주겠다고 하면서, 세번째 카드를 뒤집었습니다.

 
거기에는 딜러의 말대로 염소가 그려져 있었죠. 딜러는 당신에게 새로운 제안합니다. "당신이 처음 선택한 카드는 가운데 카드입니다. 카드를 뒤집어 확인하기 전, 한 번 바꿀 수 있는 기회를 드리겠습니다. 다른 카드로 바꾸시겠습니까?"

딜러의 제안을 들은 당신은 어떻게 하겠습니다.
카드를 바꾸실래요? 아니면 그냥 처음 선택했던 카드를 지키고 있는게 나을까요?
카드를 바꾸면 자동차를 선택할 확률이 높아질 수 있을까요?
어차피 운이니까 그냥 지키고 있는게, 나중에 아니더라도 덜 아쉬울까요?
 
 

 

#1. 언뜻 보면 이 문제는 운에 관한 이야기인 것 같습니다. 처음 3장의 카드중에서 자동차가 있는 카드 선택할 확률은 3장 중 1개를 뽑는 것이니, 당연히 1/3입니다. 그럼 딜러가 염소가 그려진 카드를 보여줄 때는 어떻게 되는 것일까요?

#2. 일반적인 직관에 따르면, 이미 1장의 카드는 열렸고 나머지 2장중에 당연히 1장에 자동차가 있겠죠. 그럼 확률은 어느 것을 선택하든 1/2입니다. 결국 당신이 카드를 바꾸든 바꾸지 않든 확률은 동일하다는 이야기입니다. 모험을 하든, 하지 않든 수학적인 확률에서는 동등하다는데 동의하십니까?


#3. 그런데 #1의 생각은 맞는데, #2의 생각은 틀렸습니다. 딜러의 염소가 그려진 카드를 뒤집은 다음에, 카드를 바꿀 수 있다는 제안을 받게 되면 당신은 무조건 카드를 바꿔야 합니다. 이유는 당신이 카드를 바꾸지 않았을 경우 자동차를 뽑을 확률은 1/3인데 반해서, 카드를 바꾸면 갑자기 확률은 2/3로 두 배가 되기 때문입니다. (당신이 정상적인 직관을 가지고 있는 사람이라면, 여기서 당신은 이상하게 느껴져야 합니다)

#4. 왜 그럴까요?
이 문제의 이름은 몬티홀 문제(Monty Hall problem)입니다. (위키피디아에 의하면¹) 이 퀴즈는 미국의 TV프로그램인 'Let's Make a Deal'에서 유래되었다고 하는군요. (안봐서 모르겠지만 문 뒤에 있는 상품을 선택하는 프로그램인 듯 합니다).

이 문제는 'Parade'라는 이름의 잡지의 'Ask Marilyn'이라는 칼럼에서 다뤄진 이후 유명해졌다고 하는데요. 이 칼럼을 쓰는 작가이자, 칼럼니스트인 Marilyn은 기네스북에 가장 높은 IQ²로 기록되는 분이라고 합니다. 그녀는 칼럼(1990. 9.)에서 마지막 선택에서 카드를 바꾸는 것이 안 바꾸는 것보다 두배의 확률을 가지고 있다고 밝혔습니다. 칼럼이 나간 이후, 그녀는 만 명이 넘는 독자들로 부터 내용의 오류를 지적하는 편지를 보냈을 정도라고 하고, 그 중에는 놀랍게도 수학자들이 보낸 편지도 상당수 있었다고 하는군요. 그만큼 이 이야기가 수학으로 먹고 사는 사람들에게 있어서도 받아들이기 쉽지 않는 이야기라는 소리입니다.


하지만, 결론적으로 Marilyn이 맞는 것으로 밝혀졌습니다. 이유는 이렇습니다.

A. (카드를 변경하지 않고 그냥 가만히 있을 때...) 확률은 앞서 말씀드린 것처럼 1/3입니다.
이 확률은 딜러가 중간에 뒤집은 카드에 영향을 받지 않은 확률입니다.

B. (딜러의 제안에 카드를 변경할 때...) 카드는 3장이고, 3가지 경우의 수를 생각해 볼 수 있습니다.
B-1. 처음 선택한 카드가 '자동차'였다고 생각해보죠. 딜러는 중간에 염소가 그려진 카드를 뒤집었고, 딜러의 제안에 당신이 카드를 바꾼다면 당신은 '염소'를 뽑게 됩니다. (실패)
B-2. 처음 선택한 카드가 '염소1'이였다고 생각하면, 딜러는 '염소2' 카드를 뒤집었을 것이고, 당신이 카드를 바꿀 경우 '자동차'를 뽑게 됩니다. (성공)
B-3. 처음 선택한 카드가 '염소2'였다고 하면, 딜러는 '염소1'을 뒤집고, 당신은 카드를 바꿔서 '자동차를 뽑게 됩니다' (성공)

결론적으로, 카드를 변경할 때 자동차를 뽑을 경우는 'B-2'와 'B-3'이므로, 전체 가능한 3가지 경우중에서 2개로, 확률은 당연히 2/3가 됩니다. 확률이 분명 처음보다 2배 높아진거죠.
 

 
위 이미지는 위키피디아에 있는 것인데요. Door가 카드라고 생각하시면 내용은 동일합니다. 자동차는 3개의 문 중 하나의 뒤에 있을 수 있고, Host(딜러)는 중간에 염소가 있는 문을 열어 줄 것(Host opens)인데... 카드를 안 바꾸는 상황(Stay)에서는 자동차를 뽑을 확률이 (1/6+1/6)=1/3 입니다. 반면 카드를 바꾸는 경우(Switch)에서는 자동차를 뽑을 확률이 (1/3+1/3)=2/3 입니다.
 
 
이는 컴퓨터 프로그램을 통한 시뮬레이션에서도 결과가 증명되었습니다. 한 예로, 100만번의 테스트에서 카드를 바꾸지 않은 전략(Stay)에서 33.28%가 자동차를 뽑았고, 카드를 바꾸는 전략(Switch)은 66.72%가 자동차를 뽑았습니다. 아니면, 웹에서 직접 시뮬레이션을 해보는 것도 가능하더군요. 프로그래밍을 통해서는 카드를 바꾸는 것이 65~70% 정도로 자동차를 뽑을 수 있는 것으로 보이는 것 같습니다.

우리의 직관, 이럴 때는 그다지 믿을만한게 못되는 것 같습니다. 어떠신가요?
 

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